Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
Aνακεφαλαίωση Aριθμοί και πράξεις 2.26 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

Εξισώσεις

   
ΤΙΤΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟY ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ
25. Η εξερεύνηση του άγνωστου! Η έννοια της μεταβλητής
26. Μαθαίνω να ισορροπώ! Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστοςείναι προσθετέος
27. Μαθηματικά σε κίνηση! Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
28. Ο άγνωστος πολλαπλασιάζεται! Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου
29. Αντανακλάσεις... Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι διαιρετέος ή διαιρέτης
     
  Όταν ο άγνωστος αποκαλύπτεται Ανακεφαλαίωση για τη θεματική ενότητα 2: Εξισώσεις
Εικόνα

   Εξισώσεις

Σε αυτή τη θεματική ενότητα θα ασχοληθούμε με τις εξισώσεις. Με άλλα λόγια, με τη χρήση γραμμάτων ή συμβόλων στη θέση ενός αριθμού που δεν γνωρίζουμε

Από την 8η χιλιετία π.Χ. οι κάτοικοι της Μεσοποταμίας, πολύ πριν από τους Σουμέριους, χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές πήλινες «μάρκες». Από εκεί πληροφορούμαστε ότι χρησιμοποιούσαν αριθμητικές μεθόδους πολύ πιο εξελιγμένες από την απλή καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων και τους απλούς εμπορικούς και οικονομικούς σκοπούς της εποχής τους.

Βρέθηκαν στις «μάρκες» προβλήματα της εποχής εκείνης που απαιτούν τη χρήση εξισώσεων για την επίλυσή τους. Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω πρόβλημα.

Βρήκα μια πέτρα. Δεν (τη) ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδομο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. (Τη) ζύγισα. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;

Φαίνεται πως τα Μαθηματικά ήταν για τους κατοίκους της Μεσοποταμίας ένα απαραίτητο εργαλείο με το όποιο μπορούσαν να αποκρυπτογραφήσουν τις κινήσεις του Ουρανού και μια γλώσσα με την οποία μπορούσαν να επικοινωνήσουν και να καταλάβουν τους θεούς τους.

Εικόνα

Κατανοώ την έννοια «μεταβλητή».

Χρησιμοποιώ μεταβλητές για να εκφράσω τις σχέσεις στις εκφράσεις, τις ισότητες, τις ανισότητες και τις γεωμετρικές σχέσεις.

Επιλέγω μεταβλητές και σχηματίζω αριθμητικές παραστάσεις.

Δραστηριότητα 1η  
Εικόνα

Στο διπλανό σχήμα σχεδιάσαμε σε μιλιμετρέ χαρτί το γράμμα «Ο» σε δύο μεγέθη. Ανάλογα με την πλευρά του καθενός τα ονομάσαμε μέγεθος 2 και μέγεθος 3.

  • Συνέχισε βάφοντας όσα τετράγωνα χρειά­ζεται για να σχηματιστεί το επόμενο μέγεθος (μέγεθος 4).

  • Πόσα τετράγωνα πρέπει να βάψεις για κάθε πλευρά;

    ..................................................................................................................................

    .....................................................................

    Mέγεθος του γράμματος 2 3 4 9 12
    Tετράγωνα που χρειάζονται
  • Συμπλήρωσε στο διπλανό πίνακα το συνολικό αριθμό από σκιασμένα τετράγωνα που χρειάζεται για να σχηματιστεί κάθε μέγεθος.

  • Παρατήρησε τον πίνακα και εξήγησε με ποιον τρόπο μεταβάλλεται ο συνολικός αριθμός των

    τετραγώνων όταν μεταβάλλεται ο αριθμός των τετραγώνων της πλευράς....................................

  • H σχέση του συνολικού αριθμού τετραγώνων με το μέγεθος είναι «...επί το μέγεθος» ή ο συνολικός αριθμός τετραγώνων ισούται με το γινόμενο «.............. · μ» (όπου μ το μέγεθος).

  • Yπολόγισε με το σύντομο τρόπο (4 · μ) τα συνολικά τετράγωνα για το μέγεθος 17.

    ..................................................................................................................................

  • Τι μεγέθους είναι το όμικρον που έχει 132 τετράγωνα;.........................................................

Δραστηριότητα 2η  

Πήγα σε ένα γαλακτοκομικό αγρόκτημα και αγόρασα γάλα σε ένα δοχείο 10 λίτρων. Το δοχείο δεν χωράει στο ψυγείο μου. Έτσι θέλω να το μεταγγίσω σε δοχεία των 2 λίτρων.

Εικόνα
Χρονιά Ηλικία Σμαρώς Ηλικία Κώστα
2006 12 16
2007
2008
2009
2010
  • Όταν η ηλικία της Σμαρώς είναι 12, η ηλικία του Κώστα θα είναι: 12 +.....................................

  • Όταν η ηλικία της Σμαρώς είναι 25, η ηλικία του Κώστα θα είναι: 25 +.....................................

  • Όταν η ηλικία της Σμαρώς είναι x, η ηλικία του Κώστα θα είναι: .............................................

Έχουμε μάθει ότι μια αριθμητική παράσταση περιέχει αριθμούς και πράξεις. Από τις προηγούμενες δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι μπορεί να περιέχει και γράμματα.

Άγνωστος / Μεταβλητή

Το γράμμα ή το σύμβολο που χρησιμοποιείται σε μια αριθμητική παράσταση στη θέση μιας τιμής άγνωστης ή μεταβαλλόμενης λέγεται μεταβλητή.

Παραδείγματα

Εμβαδό τετραγώνου: α2, όπου α = το μήκος της πλευράς του.
Μικροπείραμα Πείραμα

 

Εφαρμογή 1η   Eπιλέγω μεταβλητή

Να εκφράσετε με μια αριθμητική παράσταση τη φράση: «Έφαγαν όλα τα γλυκά! Αυτά που έφερε η Σοφία, τα 4 που έφερε η Φρόσω και τα 10 που έφερα εγώ.»

Εικόνα

Λύση

Οποιοδήποτε γράμμα (ή σύμβολο) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μεταβλητή και μια μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη θέση οποιουδήποτε αριθμού. Για να εκφράσουμε μια φράση με αριθμητική παράσταση ακολουθούμε τρία βήματα:

1. Προσδιορίζουμε την άγνωστη ποσότητα.

2. Επιλέγουμε μια μεταβλητή για την άγνωστη ποσότητα.

3. Προσδιορίζουμε τις πράξεις ανάμεσα στους αριθμούς και τη μεταβλητή.

Στη συγκεκριμένη φράση:

1. Έχουμε έναν άγνωστο: τα γλυκά που έφερε η Σοφία..

2. Επιλέγουμε σ = τα γλυκά της Σοφίας.

3. Έφαγαν τα γλυκά της Σοφίας, συν 4, συν 10. Άρα έφαγαν σ + 4 + 10, δηλαδή σ + 14.

Θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης όταν μάθουμε τον αριθμό που αντιπροσωπεύει η μεταβλητή της.

Απάντηση: Έφαγαν σ + 14, όπου σ τα γλυκά της Σοφίας.

 

Εικόνα

Εφαρμογή 2η   Yπολογίζω τις τιμές

Με βάση το σχήμα να εκφράσεις τις σχέσεις ανάμεσα στα μεγέθη των ωκεανών χρησιμοποιώντας μια μεταβλητή. Αν ο Ατλαντικός έχει έκταση 100.000.000 τετρ. χλμ. υπολόγισε την έκταση των άλλων ωκεανών.

Λύση - Απάντηση

1ο βήμα: Συμβολίζω την έκταση του Ατλαντικού
με ένα γράμμα.Π.χ. το α και γράφω:
Η έκταση του Ατλαντικού: α
Η έκταση του Ειρηνικού...............................................................................τετρ. χμ.
Η έκταση του Ινδικού: ................................................................................τετρ. χμ.

2ο βήμα: Αντικαθιστώ τη μεταβλητή α με την τιμή της (100.000.000) και κάνω τις πράξεις.

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τον όρο: μεταβλητή. Χρησιμοποίησε μια μεταβλητή σε ένα δικό σου παράδειγμα.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος
  • Στην αριθμητική παράσταση 2 · (Εικόνα – 1) δεν υπάρχει μεταβλητή.

Εικόνα Εικόνα
  • Το γινόμενο α2 είναι το εμβαδό τετραγώνου με πλευρά 2.
Εικόνα Εικόνα
  • Η ισότητα 2x = 2 . x είναι σωστή.
Εικόνα Εικόνα