Μαθηματικά (B' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο) old
B3.3: Μήκος κύκλου B3.5: Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
3.4. Μήκος τόξου

 

 

 

Για να υπολογίσουμε το μήκος ενός τόξου μετρημένου σε μοίρες, αρκεί να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών.

 

Ένα τόξο 360° (ολόκληρος ο κύκλος) έχει μήκος 2πρ.
Ένα τόξο μ° πόσο μήκος έχει;

Τόξο

Μήκος

360°

2πρ

μ°

 

 

Μικροπείραμα

 

Ακτίνια (rad)

Αρκετές φορές ως μονάδα μέτρησης των τόξων ενός κύκλου θεωρούμε το τόξο που έχει το ίδιο μήκος με την ακτίνα ρ του κύκλου. Αυτή η μονάδα μέτρησης λέγεται ακτίνιο ή rad.

Αν χρησιμοποιήσουμε ακτίνια,τότε:

 

Το μήκος ενός τόξου α rad ισούται με: = αρ.

 

Μικροπείραμα

 

Σχέση μοιρών και ακτινίων

Εξισώνοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις:

 

Η αναλογία αυτή εκφράζει τη σχέση των μοιρών με τα ακτίνια.

Σχόλιο:

Ο κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα από δύο κάθετες διαμέτρους:

Καθένα από αυτά τα τόξα έχει μέτρο 90° και ονομάζεται τεταρτοκύκλιο.

 

Μικροπείραμα

1

Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω τόξα:

 

Λύση:

Για να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τα τόξα, θα πρέπει είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε μοίρες είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε rad.

Ας κάνουμε και τις δύο μετατροπές:

Επομένως, ισχύει ότι:

 

2

Ένα τόξο 30° έχει μήκος 1,3 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

 

Λύση:

Το μήκος του τόξου είναι :

 

 

3

Να αποδείξετε ότι τα μήκη των τόξων στο διπλανό σχήμα είναι ίσα. Σχολιάστε το αποτέλεσμα.

 

Λύση:

Στον κύκλο (Κ, ρ) το τόξο είναι ημικύκλιο, επομένως έχει μήκος:

Στον κύκλο (Ο,2ρ) το τόξο αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο, οπότε έχει μήκος:

Άρα, τα δύο τόξα έχουν ίδιο μήκος.

Συμπεραίνουμε ότι δύο τόξα με ίσα μήκη δεν είναι απαραίτητα ίσα, αφού μπορεί να ανήκουν σε κύκλους με διαφορετικές ακτίνες.

 

 

 1.

Να αντιστοιχίσετε τα μέτρα των τόξων της πρώτης γραμμής από μοίρες σε ακτίνια (rad) της δεύτερης γραμμής.

 2.

Αν το μήκος ενός τόξου μ° είναι ίσο με το του μήκους του κύκλου στον οποίο ανήκει, τότε:

Α: μ = 45°    Β: μ = 90°    Γ: μ = 60°    Δ: μ = 180°

Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

 3.

Να συμπληρώσετε των παρακάτω πίνακα:

 

 

 1.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

 2.

Να υπολογίσετε το μήκος ενός τεταρτοκύκλιου ακτίνας ρ = 8 cm.

Μικροπείραμα

 3.

Σ' έναν κύκλο που έχει μήκος 188,4 cm να βρείτε το μήκος τόξου 30°.

 4.

Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με ακτίνα ρ = 10 cm.

Μικροπείραμα

 5.

Ένα τόξο 45° έχει μήκος 15,7 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

 6.

Δίνονται 2 τόξα π ακτινίων. Να εξετάσετε αν είναι πάντοτε ίσα.

 7.

Δίνονται τρεις ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων 1 cm, 1,5 cm και 2 cm και μια επίκεντρη γωνία 45°. Να βρείτε τα μήκη των τόξων που αντιστοιχούν στη γωνία αυτή.